Сопротивление провода на частоте

Постоянный ток распределяется по сечению равномерно: плотность тока одинакова в центре и у поверхности. Переменный ток так себя не ведёт. Меняющийся ток создаёт внутри металла меняющееся магнитное поле, а оно по закону электромагнитной индукции наводит в том же металле вихревые токи.

Направление этих вихревых токов различается по радиусу. Ближе к оси наведённый ток направлен против основного и вычитается из него, у поверхности - совпадает и складывается. В итоге плотность тока падает от поверхности к центру, и сердцевина проводника проводит слабо, хотя медь там та же самая.

Строго это описывается уравнением диффузии для плотности тока, которое получается подстановкой закона Ома в уравнения Максвелла при пренебрежении током смещения. Для плоской поверхности решение экспоненциальное:

J(x) = J₀ · exp(−x / δ)

где J₀ - плотность тока на поверхности в А/мм², x - расстояние вглубь от поверхности в мм, а δ - глубина скин-слоя в мм. Величина δ определяется как глубина, на которой плотность тока падает в e ≈ 2,718 раза, то есть до 36,8 % от поверхностной.

Для цилиндра решение сложнее: сказывается кривизна поверхности, и вместо экспоненты появляются функции Бесселя от комплексного аргумента. Их действительную и мнимую части называют функциями Кельвина ber и bei. Именно эта пара лежит в основе расчёта выше.

Дальше работает простая логика. Раз часть сечения выключена из проводимости, эффективная площадь меньше геометрической, а сопротивление обратно пропорционально площади. Отношение полной площади к эффективной и есть коэффициент роста сопротивления. В литературе его обозначают греческой буквой Ξ вслед за Медхёрстом:

Ξ = R_AC / R_DC = A / A_эфф

Отсюда следует полезное равенство, которым удобно пользоваться на практике: доля работающей меди равна просто 1/Ξ. Если калькулятор показал R_AC/R_DC = 4, значит работает четверть сечения, а три четверти меди куплены, намотаны и греются впустую.

Точный ответ даёт комбинация функций Кельвина. Всё остальное - способы обойтись без них там, где считать ряды неудобно или невозможно. Ниже - что это за методики и где границы их применимости.

Функции Кельвина: точное решение

Коэффициент выражается через ber, bei и их производные. Формула не приближённая: это прямое следствие уравнений Максвелла для цилиндрической геометрии. Сложность одна - вычислительная. Ряды сходятся хорошо, но при большом аргументе числитель и знаменатель набираются из близких по величине больших чисел, и двойной точности перестаёт хватать: примерно с q = 65 в результате появляется шум на уровне единиц миллионных долей.

Найт решает это переключением на мостовой полином, коэффициенты которого подобраны так, что в точке стыковки оба способа дают одно и то же с расхождением около 0,002 ppM. Верхнего предела по частоте у такой схемы нет, итоговая погрешность менее 0,01 ppM. Именно этот алгоритм используется по умолчанию.

TED-ML: компактная замена

Формула Найта 2016 года в две ступени. Сначала глубина скин-слоя правится так, чтобы на низких частотах она стремилась к радиусу провода, а не к бесконечности - иначе приближение разваливается около d = δ. Затем остаточная ошибка, которая имеет вид почти симметричного колокола, снимается модифицированной лоренцевой функцией.

Точность ±0,09 % во всём диапазоне, при этом никаких рядов: три возведения в степень и одна экспонента. Пригодится, если расчёт нужно встроить в среду, где бесселевы функции недоступны, - в макрос, в электронную таблицу, в прошивку.

Асимптотика Минли-Юя

Работа китайских исследователей 2004 года: два полинома по обратным степеням аргумента с двенадцатью коэффициентами. Даёт ±0,1 ppM, но только при q ≥ 11,5, то есть на достаточно высоких частотах. Ниже формула не применима и уходит в минус.

Формула Термана

Классика справочников: R_AC/R_DC ≈ d/(4δ) + 1/4. Первое слагаемое - площадь кольца, посчитанная как периметр на глубину скин-слоя. Константа обычно подаётся как эмпирическая поправка, хотя она выводится: разложение точного выражения для кольца с учётом кривизны даёт ровно 1/4 первым членом. Численно предел подтверждается - при q = 20000 разность составляет 0,250007.

Формула применима при d/δ > 4. Ниже она даёт грубую ошибку и, что важнее, не стремится к единице на низкой частоте: на постоянном токе по ней получается 0,25 вместо 1. В таблице выше видно, где именно она начинает врать на ваших параметрах.

Сопротивление - только действительная часть внутреннего импеданса проводника. Полная величина комплексная:

Z_i = R_AC + j·2πf·L_i

Мнимая часть отвечает за энергию магнитного поля внутри самого металла. Часть силовых линий замыкается в толще проводника, и связанная с ними энергия воспринимается схемой как дополнительная индуктивность.

На постоянном токе внутренняя индуктивность равна μ/(8π) и составляет ровно 50 нГн на метр. Величина примечательна тем, что не зависит от диаметра: тонкая жила и толстая шина дают одинаковый вклад. Для катушки на 10 мкГн, намотанной метром провода, это около 0,5 % полной индуктивности - в грубых прикидках несущественно, в точных измерениях уже мешает.

С ростом частоты ток вытесняется к поверхности, внутреннего поля становится меньше, и L_i падает пропорционально 1/√f. Получается характерная картина: активная часть растёт, реактивная убывает, а фаза внутреннего импеданса ползёт от нуля к 45°. Это классическое дисперсионное поведение, только вызвано оно не резонансом, а взаимодействием глубины проникновения поля с толщиной проводника.

Считается L_i по алгоритму Flint - те же функции Кельвина в другой комбинации, та же точность менее 0,01 ppM и то же ветвление при q = 65.

Таблица считана по точному решению. У неё есть особенность, которую стоит заметить: значения повторяются по диагоналям. Ø0,5 мм на 1 МГц и Ø5 мм на 10 кГц дают одно и то же число 2,166. Причина в том, что коэффициент зависит от единственной комбинации d·√f, поэтому таблица по сути одномерна, а универсальная кривая на графике выше исчерпывает все возможные случаи.

Расчёт описывает изолированный проводник: предполагается, что обратный проводник и соседние витки достаточно далеко и их магнитное поле не искажает распределение тока. Условие выполняется для отрезка провода в свободном пространстве и для катушки с большим шагом, где отношение шага к диаметру больше десяти.

В плотной обмотке это не так. Поле соседних витков перераспределяет ток внутри проводника, добавляя потери на эффект близости, - и в многослойной обмотке они часто превышают вклад собственного скин-эффекта. Такой расчёт ведётся по модели Доуэлла и выходит за рамки этого инструмента: для обмоток есть калькулятор литцендратной обмотки.

Также не учитываются: несинусоидальная форма тока (нужно раскладывать на гармоники и суммировать потери по каждой), магнитные материалы проводника, полые и биметаллические проводники, поверхностные покрытия. Прямоугольное сечение считается по другим формулам.

1. Knight D. W. Practical continuous functions for the internal impedance of solid cylindrical conductors. Version 2.08.1, 27 April 2016. DOI: 10.13140/RG.2.1.3865.1284. - Основной источник: алгоритмы Xirac и Flint, формулы TED-ML и Li-PACAML, разбор приближений толстого проводника.
2. Mingli W., Yu F. Numerical calculations of internal impedance of solid and tubular cylindrical conductors under large parameters. IEE Proceedings - Generation, Transmission and Distribution, 2004, vol. 151, no. 1, pp. 67-72. - Асимптотические полиномы для больших аргументов (Северный университет Цзяотун, Пекин).
3. Weaver R. S. Practical considerations in the calculation of Kelvin Bessel functions and complete elliptic integrals K and E. 2009. - Рекуррентные соотношения для рядов ber, bei и их производных.
4. Abramowitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, 1964, разд. 9.9-9.10. - Определения функций Кельвина через степенные ряды.
5. Terman F. E. Radio Engineers' Handbook. McGraw-Hill, 1943. - Классическое приближение d/(4δ) + 1/4.
6. Wheeler H. A. Formulas for Skin Effect. Proceedings of the IRE, 1942, vol. 30, no. 9, pp. 412-424. - Разложение приближения толстого проводника в ряд.
7. Medhurst R. G. H. F. Resistance and Self-Capacitance of Single-Layer Solenoids. Wireless Engineer, февраль 1947, pp. 35-43. - Обозначение Ξ для коэффициента роста сопротивления.
8. Ramo S., Whinnery J. R., Van Duzer T. Fields and Waves in Communication Electronics. Wiley. - Учебник по электродинамике, вывод скин-эффекта из уравнений Максвелла.
9. Payne A. Skin Effect, Proximity Effect and the Resistance of Circular and Rectangular Conductors. 2016. - Обзор формул и границ их применимости.
10. IEC 60228:2023 Conductors of insulated cables. - Нормированные значения удельного сопротивления и температурная модель.
11. IEC 60287-1-1:2023 Electric cables. Calculation of the current rating. Part 1-1. Edition 3.0, май 2023. - Действующий стандарт на расчёт AC-сопротивления кабелей, коэффициенты скин-эффекта и эффекта близости.
12. Dowell P. L. Effects of eddy currents in transformer windings. Proceedings of the IEE, 1966, vol. 113, no. 8, pp. 1387-1394. - Модель потерь в обмотке, за пределами этого инструмента.
13. Sullivan C. R. Optimal Choice for Number of Strands in a Litz-Wire Transformer Winding. IEEE Transactions on Power Electronics, 1999, vol. 14, no. 2, pp. 283-291. - Выбор диаметра и числа жил литцендрата.
14. Sullivan C. R., Zhang R. Y. Simplified Design Method for Litz Wire. IEEE APEC, 2014. - Упрощённая методика выбора конструкции литцендрата.
15. Peng C., Chen G., Wang B., Song J. Semi-Analytical AC Resistance Prediction Model for Litz Wire Winding in High-Frequency Transformer. IEEE Transactions on Power Electronics, 2023, vol. 38, no. 10, pp. 12730-12742. DOI: 10.1109/TPEL.2023.3293483. - Современная полуаналитическая модель для литцендратных обмоток (Shanghai Electric, Шанхай).
16. Chen T., Zhao Z., Shen Z., Jia H., Ji J. Litz-Wire Winding Loss Calculation Method for Optimal Design of High-Frequency Transformers. IEEE Journal of Emerging and Selected Topics in Power Electronics, 2024, vol. 12, no. 2, pp. 2027-2040. DOI: 10.1109/JESTPE.2024.3361924. - Расчёт потерь под оптимизацию конструкции (Хэбэйский технологический университет, Тяньцзинь; Юго-Восточный университет, Нанкин).
17. Li X., Li Y., Wan Z. Semianalytical Calculation Model for Winding Loss of Litz Wire in High-Frequency Transformer. IEEE Transactions on Power Electronics, 2024, vol. 39, no. 12, pp. 15481-15492. DOI: 10.1109/TPEL.2024.3431911. - Уточнённая модель потерь в литцендрате (Хэбэйский технологический университет, Тяньцзинь).